Александр Пересвет (a_pereswet) wrote,
Александр Пересвет
a_pereswet

Categories:

Бесконечность поддаётся расчёту и может быть засунута в компьютер

Ярослав Сергеев: "Надежность и точность вычислений – одна из самых востребованных человеческой цивилизацией функций математики"

Бесконечность представляется нам обычно… бесконечностью. И к самому большому числу всегда можно прибавить единицу, узнаём мы ещё в начальной школе. И в космическом пространстве нет края, ибо всегда можно сделать ещё шаг. После попыток представить себе это воочию мозг обычно смиряется с непостижимостью бесконечности и начинает относиться к ней, как к смерти, – да, существует, но лучше лишний раз над этим не задумываться. Однако нашёлся в России учёный, который усмирил бесконечность при помощи нового математического языка. Этот язык дал возможность включать бесконечность в математические расчёты как обычное число. А это, в свою очередь, даёт возможность создания новых суперкомпьютеров на новых математических принципах. И в условиях, когда квантовые компьютеры остаются пока ещё лабораторными устройствами, - запатентованный в России, США и Европе суперкомпьютер для работы с бесконечностью является практическим инструментом для проведения сложнейших расчётов в интересах науки, экономики, обороны, метеорологии и прочих задач всё усложняющейся нашей цивилизации. Эта технология готова к применению и является прекрасной возможностью для инновационного рывка для фирмы (или страны), которая захочет такой рывок осуществить. О компьютере бесконечности, новом математическом языке и его возможностях ТАСС-Телеком рассказывает автор открытия, Ярослав Сергеев, профессор Калабрийского университета (Италия) и Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.

- Бесконечность воспринимается людьми как что-то очень малопонятное, но очевидное: много. А "много" плюс один – всё равно будет много. Как и "много" минус один. Большая бесконечность, меньшая бесконечность – всё равно бесконечность. Как можно с нею проводить какие-то расчёты? Ведь даже если из бесконечности вычесть бесконечность, получится не ноль, а неизвестно что…

- Давайте взглянем на эту проблему с другой стороны. Вот в наше время в Амазонии живёт небольшое индейское племя пираха. Оно живет на примитивном уровне, и, похоже, этим людям нравится жить на этом уровне. И в частности, они имеют очень простую систему для счета: один, два, много. И для них 1 + 2 это много и 2 + 2 - это тоже много. Иными словами, в их простой арифметике получается простое правило: "много" + 1 = "много", "много" + 2 = "много". Заметьте, что и в вашем вопросе прозвучали точно такие же слова. Это не значит, что вы не знаете о числах 3, 4 и так далее. Это значит лишь, что в нашем языке есть слова для представления понятий "3" и "4", и потому на месте индейцев мы можем дать более точный ответ. Однако и правильности предыдущего, менее точного результата – "много", это не отменяет. Но это значит ещё одну вещь: говоря о бесконечности, мы всё ещё продолжаем рассуждать, как те индейцы. И в нашей продвинутой современной математике бесконечность + 1 = бесконечность, бесконечность + 2 = бесконечность.

На первый взгляд кажется, что тут мы сталкиваемся с парадоксом. Ведь если 2 + 1 = "много" и 2 + 2 = "много", то получается, что 2 + 2 = 2 + 1? Но на самом деле парадокса тут нет. Эта ситуация просто является индикатором того, что мы дошли до границ применимости этого простого математического языка. Ответ "много" вполне правилен в языке пираха, но неточен для нас. Наши современные инструменты, наши современные системы записи чисел позволяют нам внутри пираховского "много" различить три, четыре, пять и другие числа, и мы можем работать с ними. А внутри бесконечности у нас до сих пор не было такой возможности.

Это сравнение наводит на мысль о том, что трудности, которые мы испытываем при работе с бесконечностью, не обусловлены её природой, а являются следствием слабости традиционных систем записи чисел, т.е. недостаточным математическим инструментарием. Как обогащение языка пираха для выражения чисел 3 и 4 позволяет нам различить результаты операций 1 + 2 и 2 + 2, так и введение новых понятий и имён для выражения бесконечных (и бесконечно малых) чисел может позволить избежать появления записей вида "много" + 1 = "много".

Отметим попутно, что для исследователя чрезвычайно важно понимать, где сложность кроется в объекте исследо¬вания, а где проблему составляет то, что инструмент является недостаточно точным для поставленной задачи.

Но вернёмся к бесконечности. Мне удалось создать систему записи, которая и внутри бесконечности, как внутри индейского "много", позволяет увидеть разные числа. Это – новый математический язык, который даёт возможность работать с бесконечностью более точно. В нём с бесконечными числами можно обращаться как с обычными конечными и выполнять те же самые операции по тем же самым правилам. Ими можно измерять бесконечные множества с точностью до одного элемента, определять место элемента в бесконечной последовательности и т.д. При этом, подчеркну, новый подход не противоречит классическим идеям о бесконечности, он просто предлагает новую, в ряде случаев более удобную, "линзу" для наблюдения математических объектов.

- Принцип понятен. Но всё же: бесконечность минус 10 - это равно чему?

- А чему равно зернохранилище минус 10 зёрен?

Представьте, что мы находимся в большом зернохранилище, и нас спрашивают, сколько зерна в нём. Ясно, что мы не можем считать по зернышку, это слишком долго. И – пометьте на будущее – экономически нецелесообразно: такой подсчёт будут стоить громадных денег. Что люди делают? Люди берут мешки и начинают заполнять мешки. И начинают считать мешками. При этом мы допускаем, что все мешки одинаковые и все зёрна одинаковые.

Затем, если зернохранилище большое и мешками считать тоже трудно, то мы начинаем брать грузовики и считать уже грузовиками. Также предполагая, что они все одинаковые, в них входит одинаковое число мешков. А дальше в расчёты включаются уже вагоны поездов.

В результате ответ, который мы получим, допустим, будет 15 вагонов, 42 машины, 16 мешков и 54 зернышка.

Итак, ранее мы могли сказать, что в зернохранилище много зерна. И это был бы правильный ответ, но не точный. Ответ, который я вам сейчас дал, более точный: с точностью до одного зерна! При этом, обратите внимание, нам не нужно знать сколько зёрен в мешке, сколько мешков в машине, сколько машин в вагоне. Нам достаточно просто допустить, что в каждом мешке умещается одинаковое число зёрен, в каждой машине - одинаковое число мешков и т.д., и мы всё равно получаем ответ с точностью до одного зерна.

И почему мы его получили, такой ответ? Потому, что мы ввели новые единицы измерения.

С математической точки зрения с бесконечностью в новом языке произошло то же самое. Я ввёл новую единицу, новое число, единицу измерения бесконечности, и благодаря этому можно теперь различать разные числа. Она называется "гроссуан" (grossone) - большая единица и рисуется как единичка в кружочке. По-итальянски это слово читается как "гроссонэ" - это такой большой плотный человек.

Это новое число и, соответственно, если вы прибавите к гроссуан один, то это будет больше, чем гроссуан, на единицу, если вы вычтете один, то это будет меньше. Это число можно возводить в квадрат, можно его (и на него) делить – в общем, выполнять все математические операции.

В новом языке присутствуют бесконечные числа, бесконечно малые, конечные, а также бесконечные с конечными частями и бесконечные с бесконечно малыми частями. Все они — частные случаи одной общей системы записи и могут быть использованы в самых разных вычислениях, позволяя, среди прочего, создать математический анализ, который гораздо ближе к физике, к миру, в котором мы живём.

Приведу ещё один пример, тоже связанный с историей. Известно, что система записи чисел, использующая римские цифры, не содержит нуля. Соответственно, если у вас нет нуля, то нет и отрицательных чисел. И, следовательно, вы не сможете вычислить результат такой операции, как, например, три минус пять, поскольку не сможете выразить его на вашем языке. И три минус три вы тоже не можете сосчитать - это неопределённая форма. Как с этим быть? Вводится новый символ, который позволяет выйти на новый уровень расчётов с использованием большего диапазона чисел - положительных, нуля, отрицательных. Введение нуля позволяет записывать числа в позиционной системе, например, в десятичной, которую мы используем в повседневной жизни. Или бинарной, которая используется в компьютерах. Таким образом, введение нового символа позволяет вести расчёты на более высоком уровне и в более широком диапазоне.

Говоря кратко, гроссуан - это единица измерения бесконечных величин. Благодаря введению его в наш математический язык, с бесконечно большими, конечными и бесконечно малыми числами становится возможным работать как с обыкновенными константами. Например, если вы гроссуан разделите на гроссуан, то получите единицу. Если единицу умножите на гроссуан, вы получите гроссуан, и т.д.

- Я могу возвести гроссуан в какую-то степень?

- Да, конечно. Вы можете выполнять с этими числами любые операции, которые вы производите с другими числами. Цель разработки соответствующей математики была именно такая - позволить людям работать с бесконечно большими и с бесконечно малыми числами, как с конечными. Например, в традиционном математическом анализе исследуются функции, принимающие конечные значения, а понятия "бесконечное" и "бесконечно малое" играют вспомогательную роль. В новом языке совершенно всё равно, какие значения принимает функция — бесконечные, бесконечно малые или конечные. Он работает одним и тем же способом и с одними, и с другими, и с третьими. Различные бесконечно большие и бесконечно малые величины — это просто константы, на которые функции можно при желании умножать или делить.

- А сколько этих гроссуанов может быть - один, два, три?

- Вопрос, который вы задаёте, того же типа, как - сколько может быть единиц - одна, две, три, четыре? Если вы решаете задачу, в которой нужны числа от одного до десяти, то вам не нужен ни гроссуан, ни число 11, ни число 12 и так далее. То есть, всё зависит от того, какую задачу вы решаете. Если же задача связана с бесконечностью, то тогда гроссуан вам поможет.

- Но всё же: получается, что наши расчеты количества зёрен не до конца точны? Допуск плюс-минус сколько-то в зависимости от наполнения мешка?

- Ну, естественно, если мы говорим о счёте зёрен в конкретном зернохранилище, то вы правы. Но мы сейчас говорим о модели, модели счёта. В ней мы предполагаем, что во всех мешках одинаковое количество зерна, во всех машинах одинаковое количество мешков, во всех вагонах одинаковое количество машин.
Однако мы говорим, прежде всего, о бесконечности. И о том, как работать с задачами математики, физики и ряда других наук, где она появляется. Математический язык стал богаче, используя его, стало легче работать с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами и, в зависимости от решаемой задачи, вы сами решаете, что вам сказать на этом языке.

Новая математика ближе к современным взглядам на физику, чем традиционная. Например, возьмём ложку. Какова её длина? Она конечна, бесконечна или она бесконечно мала? Всё зависит от того, какую единицу измерения мы выберем. Если мы находимся близко и выбираем соответствующую внешнюю единицу измерения, ложка для нас конечна. Если мы, как в апории Зенона, встанем внутрь и начнём делать бесконечно малые шаги, то размер ложки будет бесконечным. А если мы будем наблюдать её из бесконечного далеко, то она будет для нас бесконечно малой. Это ведь мы решаем, как видеть физический объект. Аналогично, один и тот же физический объект можно видеть и как дискретный, и как непрерывный, в зависимости от точности используемого для наблюдения прибора. Например, та же ложка при наблюдении глазами нам видится непрерывной, а при рассмотрении высокоточным микроскопом мы увидим молекулы – т.е. объект будет видим как дискретный.

То есть в физическом мире учёные наблюдают окружающий мир с точностью до приборов, которые они используют. В моей математике то же самое. Мы наблюдаем математические объекты с точностью до языка, который мы используем. И в тот момент, когда мы выбираем, какой математический язык будем использовать для написания некоторой математической модели, мы уже знаем, какова будет точность этой модели. И, соответственно, не будем задавать вопросы, которые превышают её точность. И вот этот переход от абсолютного к относительному, отделение в математике инструмента от объекта исследования - он чрезвычайно важен.
В частности, это позволяет просепарировать бесконечность. И внутри этой бесконечности увидеть много разных бесконечностей и начинать их считать.

Обратимся ещё к одной аналогии, использующей наше зернохранилище. Грубо говоря, гроссуан можно понимать как число зёрен в мешке. Рассмотрим такую ситуацию: у вас есть мешок и десять зёрнышек, прихожу я и забираю у вас десять зернышек, что у вас остается? Мешок! То есть, вы можете подсчитать, что у вас было и что осталось. В противном случае, если у вас нет этой дополнительной единицы измерения - мешок, то у вас просто много зёрен и непонятно, как учесть то количество, которое я забрал, - поскольку "много" минус 10 всё равно "много".

Иными словами, при этом способе счета вы замечаете, что даже одно зёрнышко у вас кто-то взял. Соответственно, если я добавил одно зёрнышко, стало на одно больше, если я из мешка вынул десять зёрнышек, стало на десять меньше. И я могу начинать выполнять вычисления с ними.

Теперь это кажется элементарным. Но почему до этого до вас никто не додумался?

- Это сложный вопрос. Как видно из примеров с зерном, способ счёта, который я предложил, существует тысячелетиями. Но он почему-то не был формализован. Мы привыкли считать, только прибавляя единичку. На самом деле существуют ещё и другие способы счёта, и появление суперкомпьютеров и новых сложных задач сделало актуальным такие из них, где необходимо работать с большими, но чрезвычайно мало различающимися числами.

- Судя по примеру с элеватором, у такого метода расчётов должен быть большой экономический выход…

- Я уверен, что это так. Думаю, что и для моделирования экономических процессов этот способ счёта будет чрезвычайно важен. Естественно, я говорю о моделировании, а не о конкретных расчётах показателей. Да, в принципе, этот метод и без того уже используется в экономике. Там же считают: эшелон нефти, эшелон зерна, эшелон ещё чего-то…

- …баррель, то есть бочка при подсчётах объёмов нефти…

- Да, экономика ведь не учитывает, в каком барреле на каплю больше или на каплю меньше. И тем не менее, повторюсь, модель, о которой мы говорим, оказывается более точной, более надёжно просчитываемой, нежели традиционные.

- Это, наверное, хороший инструмент для более точного прогноза погоды…

- Я очень на это надеюсь. Ведь когда мы работаем с бесконечными величинами, и у нас каждое зёрнышко учитывается, то может быть учтена и каждая капля. В том числе и та, которая переполняет чашу и начинает литься дождь, я надеюсь, она тоже может быть сосчитана (шутка). Главное в том, что есть новый, существенно более точный инструмент. Если он окажется в руках специалистов той или иной профессии, то они его приспособят к своим задачам, и решение их станет легче.
Эта тематика вызвала интерес у учёных в самых разных областях, начиная от людей, которые занимаются чистой и прикладной математикой и информатикой и кончая философами. И даже для лингвистов здесь есть, как говорится, хлеб…

Да, существует ещё одна область применения, о которой я забыл сказать. Это цифровые приборы. В них идёт обработка сигналов, и теперь, используя новую математику, сигнал можно обрабатывать точнее и лучше.

- Да, у вас же даже компьютер изобретён на этой базе. Что это за машина?

- Я предложил и запатентовал в России, в Европе и Соединённых Штатах новый тип компьютера, который в состоянии работать не только с конечными числами, но и с бесконечно большими и бесконечно малыми. Это компьютер, который открывает перед учёными более широкие возможности в плане моделирования окружающего мира и решения задач с той точностью, которую раньше достичь было нельзя - с одной стороны. А с другой стороны, он позволяет выполнять операции, которые традиционные компьютеры выполнять не могут. Это стало возможно, поскольку для этого компьютера создана новая математика, с которой можно работать без ряда ограничений, которые есть в традиционной. Я в первую очередь имею в виду неопределённые формы и расходимости разного рода, с которыми чрезвычайно трудно работать на традиционных компьютерах. Вот это соединение, с одной стороны, новой методологии вычислений, и с другой - готового прибора – компьютера бесконечности, софтовый прототип которого уже существует - и даёт нам новую парадигму вычислений.

- То есть, это не суперкомпьютер, это просто компьютер на новом вычислительном принципе?

- Следует отметить, что в термин supercomputing входит и разработка новых парадигм вычислений (квантовые вычисления, естественные вычисления и т.д.), которые могут позволить получить радикальные преимущества при работе с рядом задач за счёт проведения вычислений новыми способами и с новыми объектами. Так что компьютер бесконечности – это суперкомпьютер в том смысле, что он делает то, чего не могут делать обыкновенные. Традиционное направление увеличения точности вычислений - это увеличение числа разрядов компьютеров. Мы работали на 8 разрядах, потом на 16, 32 и так далее. Совершенно понятно, что бесконечности вы таким образом не достигнете. При разработке компьютера бесконечности был решён ряд технических проблем, что привело к созданию принципиально нового арифметико-логического устройства и устройства хранения информации. Так, первая из проблем, которые были решены - как сохранить бесконечное число в конечной памяти компьютера.

Вторая проблема - каким образом работать со всеми числами - с конечными, с бесконечно большими и бесконечно малыми - по единым правилам. Потому что в информатике любое исключение означает замедление.

И третье. Вычисления бывают символьными и численными. Первые медленнее, вторые - быстрее. Проблема, каким образом организовать работу численно, а не символьно, также была решена в этом изобретении, которое было запатентовано.

Отметим одно из главных практических достоинств компьютера, который я предлагаю: благодаря тому, что мы сможем представлять бесконечно малые числа и работать с ними, точность расчётов будет существенно выше.

- А практически нам что это дает?

- В компьютерном моделировании можно будет создавать модели, где учитывается влияние бесконечно малых изменений. Можно будет наблюдать, что получится, когда они накапливаются, как они переходят в конечные, в бесконечные и т.д. Можно будет изучать и лучше моделировать процессы, где малые изменения приводят к большим результатам. Словом, это позволяет делать более сложные модели и обрабатывать их на компьютере бесконечности без вмешательства человека.
Представьте, например, что просчитывается вероятность землетрясения в районе некоторого важного объекта. Тогда, если есть вероятность (даже самая маленькая, бесконечно малая) того, что объект будет потерян, это критично. Если вычисления проводятся на традиционных компьютерах, то за счёт ошибок округления риск того, что эта маленькая вероятность будет округлена до нуля, очень велик. В результате критическая информация о ненулевой вероятности будет потеряна. Если же моделировать, используя мои числа, то даже бесконечно малые вероятности никуда не потеряются и всегда будут учтены в модели. И мы будем знать, что вероятность бесконечно мала, но все-таки это не есть невозможное событие, оно может произойти.

Так что новый язык — это способ повышения надёжности и точности вычислений. А сегодня это – одна из самых востребованных человеческой цивилизацией функций математики.

Польза, которую мы получим, введя в обиход компьютер бесконечности и новый язык, ясно видна, если, говоря метафорически, посмотреть на разницу между математиками индейцев пираха и нашей. Пираха живут в примитивном состоянии. Они не в состоянии построить компьютер, запустить спутник и так далее – ибо везде, за всеми этими полезными вещами, стоят математика, математические модели и компьютеры, которые они не в состоянии построить, в частности, из-за бедности своего математического языка.

Так и здесь: благодаря новому подходу и этому компьютеру можно построить более точные математические модели. И создать новые, которых раньше не было, потому что мы раньше с бесконечно большой точностью считать не умели. Соответственно, открывается дверь в новый мир, в котором мы можем делать вещи, которых раньше не делать не могли. Например, в численном дифференцировании, которое используется чрезвычайно широко, в линейном программировании, которое используется просто везде, уже получены новые очень интересные результаты.

Словом, я предлагаю инструменты, которыми можно построить новые математические модели. А уже с их помощью новые вещи. На сегодняшний момент мы имеем новый инструмент для вычислений и серию интересных примеров его применения - как в фундаментальной науке, так и для решения практических численных задач. В данном направлении уже работают учёные нескольких стран, прошла первая международная конференция. Изобретение было отмечено несколькими международными премиями.

Известно, что сегодня компьютерная мощь является одним из решающих факторов, которые позволяют фирмам (и странам) получить ключевое преимущество над конкурентами. Разработанная, запатентованная в ряде стран и готовая к применению технология компьютера бесконечности является прекрасной возможностью для инновационного рывка для фирмы (или страны), которая захочет такой рывок осуществить.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments